distribs-continuas.Rmd

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knit: "bookdown::render_book"
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# Distribuições contínuas

## Vídeo

```{r echo=FALSE, out.extra=center(), results='asis'}
embed_yt('TrmDPVYTpHc')
```


## Distribuição uniforme

### Exemplo: gerador de números aleatórios

- Um programa para gerar números [reais]{.hl} aleatórios no intervalo $[0, 10]$.

- A probabilidade é distribuída [uniformemente]{.hl} neste intervalo.

- A variável aleatória $X$ representa os números gerados.

::: {.rmdimportant latex=1}

[$P(X = x) = 0!$]{.hl}

Como $X$ é uma variável aleatória contínua, as probabilidades
$P(X = 1)$, $P(X = 3{,}1416)$, ou qualquer outra probabilidade pontual
$P(X = x)$, [são iguais a zero]{.hl}!
:::

- A fdp (função de densidade de probabilidade) de $X$ é 

  $$
    f(x) = 
      \begin{cases}
        \frac{1}{10} & \text{se } x \in [0, 10] \\
        0 & \text{se } x \not\in [0, 10]
      \end{cases}
  $$ 
  
  cujo gráfico é

    ```{r echo=FALSE}
    ggplot() +
      stat_function(
        fun = dunif,
        args = c(-0.05, 10),
        xlim = c(-1, 11),
        geom = 'step',
        color = 'blue',
        linewidth = 1
      ) +
      scale_x_continuous(
        breaks = 0:10
      ) +
      labs(
        y = NULL,
        x = 'X'
      )
    ```


::: {.rmdimportant latex=1}

[Densidade não é probabilidade]{.hl}!

Perceba que a [probabilidade]{.hl} $P(X = 5)$ é $0$, mas a [densidade]{.hl} $f(5)$ é $1/10$.

:::

- A probabilidade de um número gerado estar [entre $5$ e $7$]{.hl} é de 

  $$
    P(5 < X < 7) = P(5 \leq X \leq 7) = \int_5^7 f(x)\;\text{d}x = \int_5^7 \frac{1}{10}\;\text{d}x = \frac{1}{5}
  $$

- O [valor esperado]{.hl} de $X$ é 

  $$
  E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\;\text{d}x = \int_{0}^{10} \frac{1}{10}x\;\text{d}x = 5
  $$

- A [variância]{.hl} de $X$ é 

  $$
    \sigma^2(X) 
      = \int_{-\infty}^{+ \infty} (x - 5)^2 \cdot f(x)\;\text{d}x 
      = \int_{0}^{10} (x-5)^2 \cdot \frac{1}{10}\;\text{d}x 
      = \frac{25}{3}
      = `r fm(25/3)`
  $$

- **Exercício:** calcule $\sigma^2(X)$ usando a fórmula $\sigma^2(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.


### No geral

- Escrevemos $X \sim \text{Unif} (a, b)$.

- Os extremos do intervalo são $a, b \in \mathbb{R}, a < b$.

- O [suporte]{.hl} é o intervalo $[a, b]$.

- A [função de densidade de probabilidade]{.hl} é 

  $$
    f(x \mid a, b) = 
      \begin{cases}
        \frac{1}{b - a} & \text{se } x \in [a, b] \\
        0 & \text{se } x \not\in [a, b]
      \end{cases}
  $$

* [Valor esperado]{.hl}:

  $$E(X) = \frac{a+b}{2}$$

* [Variância]{.hl}: 

  $$\sigma^2(X) = \frac{(a - b)^2}{12}$$


### Em R

#### Função de densidade de probabilidade: [$f(x \mid a, b)$]{.hl} {-}

* `dunif(x, min = a, max = b)`.

* No exemplo do gerador de números aleatórios em $[0, 10]$, todos os valores no intervalo têm a mesma densidade: $\frac{1}{10}$. Valores fora do intervalo têm densidade $0$:

    ```{r dunif}
    dunif(
      c(-1, 1, 2, 10, 11), 
      min = 0,
      max = 10
    )
    ```


#### Função de probabilidade acumulada: [$\text{Unif}(X \leq q \mid a, b)$]{.hl} {-}

* `punif(q, min = a, max = b)`.

* No exemplo do gerador de números aleatórios no intervalo $[0, 10]$, qual a probabilidade de obter um número [menor que $4$]{.hl}?

    ```{r punif1}
    punif(4, min = 0, max = 10)
    ```

* E um número [maior que $4$]{.hl}?

    ```{r punif2}
    punif(4, min = 0, max = 10, lower.tail = FALSE)
    ```

#### Função quantil: [dado um valor de $\text{Unif}(X \leq x \mid a, b)$, então $x = ?$]{.hl} {-}

* O objetivo é achar $x$ tal que $\text{Unif}(X \leq x \mid a, b) = m$.

* `qunif(p, min = a, max = b)`.

* No exemplo do gerador de números aleatórios no intervalo $[0, 10]$, qual o número $x$ tal que existe uma probabilidade de $80\%$ de que um número [menor ou igual a $x$]{.hl} seja gerado?

    ```{r qunif1}
    qunif(.8, min = 0, max = 10)
    ```

* E qual o número $x$ tal que existe uma probabilidade de $80\%$ de que um número [maior ou igual a $x$]{.hl} seja gerado?

    ```{r qunif2}
    qunif(.8, min = 0, max = 10, lower.tail = FALSE)
    ```

#### Função para [gerar números aleatórios]{.hl} {-}

* `runif(n, min = a, max = b)`

* Os números gerados são de ponto flutuante:

    ```{r runif}
    runif(10, min = 0, max = 10)
    ```

* **Exercício:** e se você quiser gerar apenas números inteiros no intervalo dado?

* **Exercício:** os extremos do intervalo (`min` e `max`) podem ser gerados?


## Distribuição normal

### Exemplo

* Segundo o [Levantamento do Perfil Antropométrico da População Brasileira Usuária do Transporte Aéreo Nacional](https://pdf4pro.com/view/levantamento-do-perfil-antropom-201-trico-10652c.html), em 2009, a estatura do homem brasileiro adulto era distribuída normalmente, com média $1{,}73$m e desvio-padrão $0{,}07$m.

* Segundo [este livro](https://www.pearson.com/us/higher-education/product/De-Veaux-Stats-Data-and-Models-Plus-NEW-My-Lab-Statistics-with-Pearson-e-Text-Access-Card-Package-4th-Edition/9780133956498.html), a estatura do homem holandês é distribuída normalmente, com média $1{,}84$m e desvio-padrão $0{,}08$m.

    ```{r specs}
    mu_brasil <- 1.73
    sigma_brasil <- .07
    
    mu_holanda <- 1.84
    sigma_holanda <- .08
    ```

* Gráfico:

    ```{r altura, echo=FALSE}
    limites <- c(1.4, 2.2)
    breaks <- seq(1.4, 2.2, .1)
    
    grafico_base <- 
      ggplot() +
        scale_x_continuous(breaks = breaks) +
        scale_y_continuous(breaks = 0:5) +
        labs(
          y = NULL,
          x = 'altura (m)',
          color = NULL
        ) 
    
    normal <- function(mu, sigma, nome, faixa, cor = NULL) {
      
      if (is.null(cor)) {
        stat_function(
          mapping = aes(color = nome),
          fun = dnorm,
          args = c(mean = mu, sd = sigma),
          xlim = faixa
        )
      }
      else {
        stat_function(
          mapping = aes(color = nome),
          fun = dnorm,
          args = c(mean = mu, sd = sigma),
          xlim = faixa,
          geom = 'area',
          fill = cor,
          alpha = 0.5,
          outline.type = 'upper',
          show.legend = FALSE
        )
      }
      
    }
    
    curva_brasil <- function(faixa = limites, cor = NULL) {
    
      normal(
        mu_brasil,
        sigma_brasil,
        'Brasil',
        faixa,
        cor
      )
    
    }
    
    curva_holanda <- function(faixa = limites, cor = NULL) {
    
      normal(
        mu_holanda,
        sigma_holanda,
        'Holanda',
        faixa,
        cor
      )
    
    }
    
    grafico_base + 
      curva_holanda() +
      curva_brasil()
    ```

* **Exercício:** o que são os números no eixo vertical?

* Por que a curva do Brasil é mais alta?


### No geral

* Escrevemos $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$.

* O [valor esperado]{.hl} é $\mu \in \mathbb{R}$.

* O [desvio-padrão]{.hl} é $\sigma \in \mathbb{R}_{\geq 0}$.

* O [suporte]{.hl} é o intervalo$(-\infty, \infty)$.

* A [função de densidade de probabilidade]{.hl} é:

  $$
  f(x \mid \mu, \sigma) = 
  \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} 
    e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2} 
  $$


### Em R

#### Função de densidade de probabilidade: [$f(x \mid \mu, \sigma)$]{.hl} {-}

* `dnorm(x, mean = μ, sd = σ)`.


#### Função de probabilidade acumulada: [$\text{Norm}(X \leq q \mid \mu, \sigma)$]{.hl} {-}

* `pnorm(q, mean = μ, sd = σ)`.

* Qual a probabilidade de um homem [brasileiro]{.hl} ter [entre $1{,}80$m e $1{,}90$m de altura]{.hl}?

* Gráfico:

    ```{r entre-180-e-190-br, echo=FALSE}
    grafico_base +
      curva_brasil() +
      curva_brasil(faixa = c(1.8, 1.9), cor = 'red')
    ```

* Menos que $1{,}80$m:

    ```{r menos-q-180}
    pnorm(1.80, mu_brasil, sigma_brasil)
    ```

* Menos que $1{,}90$m:

    ```{r menos-q-190}
    pnorm(1.90, mu_brasil, sigma_brasil)
    ```

* Entre $1{,}80$m e $1{,}90$m:

    ```{r entre-180-190}
    pnorm(1.90, mu_brasil, sigma_brasil) - 
      pnorm(1.80, mu_brasil, sigma_brasil)
    ```

* Qual a probabilidade de um homem [holandês]{.hl} ter [entre $1{,}80$m e $1{,}90$m de altura]{.hl}?

* Gráfico:

    ```{r entre-180-e-190-ho, echo=FALSE}
    grafico_base +
      curva_holanda() +
      curva_holanda(faixa = c(1.8, 1.9), cor = 'red')
    ```

* Menos que $1{,}80$m:

    ```{r menos-q-180-h}
    pnorm(1.80, mu_holanda, sigma_holanda)
    ```

* Menos que $1{,}90$m:

    ```{r menos-q-190-h}
    pnorm(1.90, mu_holanda, sigma_holanda)
    ```

* Entre $1{,}80$m e $1{,}90$m:

    ```{r entre-180-190-h}
    pnorm(1.90, mu_holanda, sigma_holanda) - 
      pnorm(1.80, mu_holanda, sigma_holanda)
    ```

#### Função quantil: dado um valor de [$\text{Norm}(X \leq x \mid \mu, \sigma)$, então $x = ?$]{.hl} {-}

* `qnorm(p, mean = μ, sd = σ)`.

* Quais as [alturas mínima e máxima]{.hl} dos homens que estão [nos $50\%$ da população em torno da média]{.hl}?

* Gráfico:

    ```{r intervalo-50-br, echo=FALSE, message=FALSE}
    quantis <- c(
      qnorm(.25, mu_brasil, sigma_brasil),
      qnorm(.75, mu_brasil, sigma_brasil)
    )
    
    grafico_base +
      curva_brasil() +
      curva_brasil(
        faixa = quantis, 
        cor = 'red'
      ) +
      scale_x_continuous(breaks = quantis, labels = rep('??', 2))
    ```

* O limite [inferior]{.hl} é o valor à [esquerda]{.hl} do qual existem [$25\%$]{.hl} de probabilidade:

    ```{r q-25-br}
    qnorm(.25, mu_brasil, sigma_brasil)
    ```

* O limite [superior]{.hl} é o valor à [esquerda]{.hl} do qual existem [$75\%$]{.hl} de probabilidade:

    ```{r q-75-br}
    qnorm(.75, mu_brasil, sigma_brasil)
    ```

* Ou, equivalentemente, o valor à [direita]{.hl} do qual existem [$25\%$]{.hl} de probabilidade:

    ```{r q-25-br-dir}
    qnorm(.25, mu_brasil, sigma_brasil, lower.tail = FALSE)
    ```

* As alturas mínima e máxima dos homens que estão nos $50\%$ da população em torno da média são $`r qnorm(.25, mu_brasil, sigma_brasil) %>% round(2) %>% fm()`$m e $`r qnorm(.75, mu_brasil, sigma_brasil) %>% round(2) %>% fm()`$m.


#### Função para [gerar números aleatórios]{.hl} {-}

* `rnorm(n, mean = μ, sd = σ)`.

* Qual é a [probabilidade de um homem holandês]{.hl} escolhido ao acaso ser [mais baixo]{.hl} do que [um homem brasileiro]{.hl} escolhido ao acaso?

* Vamos responder fazendo uma simulação. 

* Vamos repetir muitas vezes o experimento de escolher um holandês ao acaso e um brasileiro ao acaso:

    ```{r amostras}
    n <- 1e6
    holandeses <- rnorm(n, mu_holanda, sigma_holanda)
    brasileiros <- rnorm(n, mu_brasil, sigma_brasil)
    ```

* Qual a proporção de vezes em que o holandês é mais baixo?

    ```{r h-mais-baixo}
    mean(holandeses < brasileiros)
    ```

* Segundo nossa simulação, esta é a resposta.


### *QQplots*

* Como saber se um conjunto de dados numéricos segue a distribuição normal?

* Vamos gerar dados aproximadamente normais (média $0$, desvio-padrão $1$):

```{r amostra-normal}
valores <- rnorm(1000)
head(valores)
```

* Histograma:

```{r hist-normal}
valores %>% 
  as_tibble() %>% 
  ggplot() +
    geom_histogram(aes(x = value), bins = 10) +
    labs(
      x = 'valor',
      y = NULL
    )
```

* Para estes dados, os quartis são

```{r quartis}
quantile(valores)
```

* Na distribuição $\mathcal{N}(0, 1)$ teórica, os quartis seriam

```{r quartis-teoricos}
qnorm(c(0, .25, .5, .75, 1))
```

* O gráfico QQ (quantil-quantil) mostra os quantis da amostra no eixo $y$ e os quantis teóricos no eixo $x$. A reta vermelha serve para referência; se as duas distribuições fossem idênticas, todos os pontos estariam sobre a reta.

```{r qq-valores}
valores %>% 
  as_tibble() %>% 
  ggplot(aes(sample = value)) +
    geom_qq(alpha = .3) +
    labs(
      y = 'amostra',
      x = 'N(0, 1)'
    ) +
    geom_abline(color = 'red')
```

* Um exemplo concreto: pesos de $15$ mulheres com idades entre $30$ e $39$ anos:

```{r pesos}
pesos <- women %>% 
  select(weight) %>% 
  transmute(peso = weight * .4535924)
```

* Histograma:

```{r hist-pesos}
pesos %>% 
  ggplot() +
    geom_histogram(aes(x = peso), bins = 6) +
    labs(y = NULL)
```

* O gráfico quantil-quantil fica

```{r pesos-qq}
pesos %>% 
  ggplot(aes(sample = peso)) +
    geom_qq() +
    labs(
      y = 'pesos',
      x = 'N(0, 1)'
    )
```

* Quanto mais próximos de uma reta com inclinação de $45$ graus os pontos ficarem, mais próximos da distribuição normal os dados estão.

* Podemos usar, como distribuição teórica no eixo $x$, a distribuição normal com média e desvio-padrão iguais à média e ao desvio-padrão dos dados:

```{r pesos-qq-nao-padrao}
m <- mean(pesos$peso)
s <- sd(pesos$peso)

pesos %>% 
  ggplot(aes(sample = peso)) +
    geom_qq(
      dparams = list(
        mean = m,
        sd = s
      )
    ) +
    geom_abline(color = 'red') +
    labs(
      y = 'pesos',
      x = paste0('N(', m %>% round(2), ' ; ', s %>% round(2), ')')
    )
```

* Ou podemos padronizar os dados no eixo $y$, fazendo com que a média deles seja $0$ e o desvio-padrão deles seja $1$. 

* Para fazer isso manualmente, basta subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão:

```{r padronizar-manual}
pesos %>% 
  mutate(peso = (peso - mean(peso)) / sd(peso)) %>% 
  kbl(
    format.args = list(big.mark = '.')
  ) %>% 
  kable_paper(
    c('striped', 'hover'),
    full_width = FALSE
  )
```

* Ou podemos usar a função `scale`, que faz o mesmo:

```{r padronizar-scale}
pesos %>% 
  mutate(peso = scale(peso)) %>% 
  kbl(
    format.args = list(big.mark = '.')
  ) %>% 
  kable_paper(
    c('striped', 'hover'),
    full_width = FALSE
  )
```

```{r pesos-qq-padrao}
pesos %>% 
  mutate(peso = scale(peso)) %>% 
  ggplot(aes(sample = peso)) +
    geom_qq() +
    labs(
      y = 'pesos\n(padronizados)',
      x = 'N(0, 1)'
    ) +
    geom_abline(color = 'red')
```

* Um exemplo de dados não normais:

```{r nao-normais}
dados <- rexp(100, rate = .1)
m <- mean(dados)
s <- sd(dados)
```


* Histograma:

```{r hist-nao-normal}
dados %>% 
  as_tibble() %>% 
  ggplot() +
    geom_histogram(aes(x = value), bins = 20) +
    labs(
      x = 'valor',
      y = NULL
    )
```

* QQ:

```{r qq-nao-normal}
dados %>% 
  as_tibble() %>% 
  ggplot(aes(sample = value)) +
    geom_qq(
      dparams = list(
        mean = m,
        sd = s
      )
    ) +
    geom_abline(color = 'red') +
    labs(
      y = 'dados',
      x = paste0('N(', m %>% round(2), ' ; ', s %>% round(2), ')')
    )
```

* **Exercício**: gere um gráfico quantil-quantil para estes dados, usando a distribuição exponencial com média $10$ como distribuição teórica no eixo $x$.


### Aproximação da binomial pela normal

* Exemplo: 

  * Uma organização vai receber sangue de $32$ mil doadores escolhidos ao acaso. 
  
  * A probabilidade de um doador ter sangue tipo O- é $p = 0{,}06$.
  
  * Qual a probabilidade de a organização conseguir no mínimo $1.850$ doadores com sangue do tipo O-?

* Cada doador é uma prova de Bernoulli, com probabilidade de sucesso $p = 0{,}06$. Supondo que os doadores são independentes (por exemplo, não são todos parentes) e usando a distribuição binomial, a resposta é 
$$
\text{Binom}(X \geq 1850 \mid n = 32000, p = 0.06)
$$

* Em R

```{r o-binom}
pbinom(
  q = 1849,
  size = 32000,
  prob = 0.06,
  lower.tail = FALSE
)
```

* Este resultado é o valor da longa e trabalhosa expressão
$$
{32000 \choose 1850} 0{,}06^{1850} 0{,}94^{30150} + 
{32000 \choose 1851} 0{,}06^{1851} 0{,}94^{30149} + \cdots +
{32000 \choose 32000} 0{,}06^{32000} 0{,}94^{0}
$$

* Felizmente, podemos usar a distribuição normal para achar uma aproximação:

  * A média da distribuição binomial é $np = 32.000 \cdot 0{,}06 = 1920$.
  
  * O desvio-padrão da distribuição binomial é $\sqrt{np(1-p)} \approx 42{,}48$.
  
  * Usando uma normal com esta média e este desvio-padrão, temos
  
```{r 0-normal}
pnorm(
  q = 1849,
  mean = 1920,
  sd = 42.48,
  lower.tail = FALSE
)
```

* As distribuições são mesmo parecidas:

```{r normal-binom-func, echo=FALSE}
normal_binom <- function(n, p, limites = NULL) {

  mu <- n * p
  sigma <- sqrt(mu * (1-p))
  if (is.null(limites))
    limites <- c(mu - 4 * sigma, mu + 4 * sigma)

  ggplot() +
    stat_function(
      mapping = aes(color = 'normal'),
      fun = dnorm,
      args = list(mean = mu, sd = sigma),
      xlim = limites
    ) +
    geom_col(
      data = tibble(
        valor = round(limites[1]):round(limites[2]),
        probab = dbinom(valor, n, p)
      ),
      mapping = aes(x = valor, y = probab, fill = 'binom'),
    ) +
    scale_fill_manual(
      values = c('#FF000050', 'blue'),
      aesthetics = c('fill', 'color'), 
      guide = 'legend'
    ) +
    guides(color = 'none') +
    labs(
      y = NULL,
      fill = NULL,
      title = paste0(
        'Comparação entre Binom(',
        n,
        ' ; ',
        p,
        ')  e  N(',
        round(mu, 2),
        ' ; ',
        round(sigma, 2),
        ')'
      )
    )
  
}
```

```{r normal-binom-plot, echo=FALSE}
n <- 32000
p <- .06

normal_binom(n, p)
```

* Mas nem toda binomial se parece com uma normal:

```{r normal-binomial-plot-ruim}
n <- 5
p <- .1
normal_binom(n, p, limites = c(-2, 5)) + 
  scale_x_continuous(breaks = -2:5)
```

* Neste exemplo, quanto da probabilidade da normal está em valores abaixo de $-0.5$ (valores que não fazem sentido para a binomial!)?

```{r normal-negativa}
pnorm(-.5, n * p, sqrt(n * p * (1 - p)))
```

* Como resolver isto?

* Lembrando que $99{,}7\%$ da probabilidade da distribuição normal está a $3$ desvios-padrão de distância da média, podemos exigir que a distribuição binomial esteja dentro destes limites. 

* Então, a normal deve ser $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ tal que o intervalo de $\mu - 3\sigma$ até $\mu + 3\sigma$ só tenha valores positivos.

* Ou seja, queremos $$\mu - 3\sigma > 0$$

* O que equivale a $$\mu > 3\sigma$$

* Como a normal é calculada a partir de $\text{Binom}(X \mid n, p)$, isto equivale a 
  $$
  np > 3 \sqrt{np(1-p)}
  $$
  
* Elevando os dois lados ao quadrado: $$n^2p^2 > 9np(1-p)$$

* Dividindo ambos os lados por $np$ (que é positivo): $$np > 9(1-p)$$

* Como $(1-p) \leq 1$, podemos nos satisfazer com $$np > 9$$

* **Conclusão:** 

  * Para aproximar a binomial $\text{Binom}(X \mid n, p)$ por uma normal, exigimos que $np$ seja pelo menos $10$. 
  
  * Como a normal é simétrica, também exigimos que $n(1-p)$ também seja pelo menos $10$.
  
  * Em outras palavras, o número esperado de sucessos e o número esperado de fracassos precisam ser, ambos, maiores ou iguais a $10$.
  

### Correção de continuidade

* E se, no exemplo dos doadores de sangue, quiséssemos calcular a probabilidade de a organização obter *exatamente* $1.850$ doadores com sangue O-?

```{r exato-binom}
dbinom(1850, 32000, .06)
```

* Usando a aproximação normal, como calcularíamos esta probabilidade? Como a normal é uma distribuição contínua, $P(X = 1850)$ é igual a zero (como qualquer probabilidade pontual)!

* A solução é calcular $P(1849{,}5 \leq X \leq 1850{,}5)$:

```{r probs-corr-cont}
probs <- pnorm(
  c(1849.5, 1850.5), 
  mean = 32000 * 0.06,  
  sd = sqrt(32000 * 0.06 * (1 - 0.06))
)

probs[2] - probs[1]
```

* Trabalhando com uma distribuição $\text{Binom}(X \mid n = 20, p = 0{,}5)$, isto fica claro no gráfico. Cada barra centrada no valor $x$ compreende uma região de $x - 0{,}5$ até $x + 0{,}5$:

```{r correcao-cont, echo=FALSE}
normal_binom(20, .5, c(0, 20)) + scale_x_continuous(breaks = 0:20)
```



## Exponencial

### Exemplo

* Lembre-se de que a distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um fenômeno que tem uma média de $\lambda$ ocorrências por período de tempo.

* Imagine que o números de visitas por minuto à sua página web é $\lambda = 4$.

* Então, o *tempo* entre visitas é uma variável aleatória contínua $X$, que pode ser modelada pela distribuição exponencial com média $1/\lambda = 1/4 = 0{,}25$.

* Qual a  probabilidade de que o tempo entre uma visita e a próxima seja menor do que $0{,}33$ minuto?
$$
\begin{aligned}
  P(X \leq 0{,}33 \mid \lambda = 4) 
    &= \int_0^{0{,}33} \lambda e^{-\lambda \cdot 0{,}33} dx \\
    &= 1 - e^{-\lambda \cdot 0{,}33} \\
    &= 1 - e^{-`r 4 * .33`} \\
    &\approx `r round(1 - exp(-4 * .33), 2)`
\end{aligned}
$$

### No geral

* $X \sim \text{Exp}(\lambda)$

* Média: $1/\lambda$

* Desvio padrão: $1/\lambda^2$

* Suporte: $[0, \infty)$

* Fdp:
$$
f(x \mid \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}
$$


### Em R

* Densidade: `dexp(x, rate = 1)`

* Probabilidade acumulada: `pexp(q, rate = 1, lower.tail = TRUE)`

* Quantil: `qexp(p, rate = 1, lower.tail = TRUE)`

* Geração de números aleatórios: `rexp(n, rate = 1)`


## Outras distribuições contínuas importantes

* Distribuição $t$ de Student

* Distribuição $\chi^2$

* Distribuição $F$


## Jardim zoológico de distribuições

Para sua diversão: https://ben18785.shinyapps.io/distribution-zoo/