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PolRepTDA.hs
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-- PolRepTDA.hs
-- Implementación de los polinomios mediante tipos de datos algebraicos.
-- José A. Alonso Jiménez <https://jaalonso.github.io>
-- Sevilla, 17-abril-2023
-- ---------------------------------------------------------------------
{-# LANGUAGE TemplateHaskell #-}
{-# OPTIONS_GHC -fno-warn-unused-top-binds #-}
module TAD.PolRepTDA
( Polinomio,
polCero, -- Polinomio a
esPolCero, -- Polinomio a -> Bool
consPol, -- (Num a, Eq a)) => Int -> a -> Polinomio a -> Polinomio a
grado, -- Polinomio a -> Int
coefLider, -- Num t => Polinomio t -> t
restoPol -- Polinomio t -> Polinomio t
) where
import Test.QuickCheck
-- Representamos un polinomio mediante los constructores ConsPol y
-- PolCero. Por ejemplo, el polinomio
-- 6x^4 -5x^2 + 4x -7
-- se representa por
-- ConsPol 4 6 (ConsPol 2 (-5) (ConsPol 1 4 (ConsPol 0 (-7) PolCero)))
-- Polinomio como tipo de dato algebra
data Polinomio a = PolCero
| ConsPol Int a (Polinomio a)
deriving Eq
-- (escribePol p) es la cadena correspondiente al polinomio p. Por
-- ejemplo,
-- λ> escribePol (consPol 4 3 (consPol 2 (-5) (consPol 0 3 polCero)))
-- "3*x^4 + -5*x^2 + 3"
escribePol :: (Num a, Show a, Eq a) => Polinomio a -> String
escribePol PolCero = "0"
escribePol (ConsPol 0 b PolCero) = show b
escribePol (ConsPol 0 b p) = concat [show b, " + ", escribePol p]
escribePol (ConsPol 1 b PolCero) = show b ++ "*x"
escribePol (ConsPol 1 b p) = concat [show b, "*x + ", escribePol p]
escribePol (ConsPol n 1 PolCero) = "x^" ++ show n
escribePol (ConsPol n b PolCero) = concat [show b, "*x^", show n]
escribePol (ConsPol n 1 p) = concat ["x^", show n, " + ", escribePol p]
escribePol (ConsPol n b p) = concat [show b, "*x^", show n, " + ", escribePol p]
-- Procedimiento de escritura de polinomios.
instance (Num a, Show a, Eq a) => Show (Polinomio a) where
show = escribePol
-- Ejemplos de polinomios con coeficientes enteros:
ejPol1, ejPol2, ejPol3 :: Polinomio Int
ejPol1 = consPol 4 3 (consPol 2 (-5) (consPol 0 3 polCero))
ejPol2 = consPol 5 1 (consPol 2 5 (consPol 1 4 polCero))
ejPol3 = consPol 4 6 (consPol 1 2 polCero)
-- Comprobación de escritura:
-- > ejPol1
-- 3*x^4 + -5*x^2 + 3
-- > ejPol2
-- x^5 + 5*x^2 + 4*x
-- > ejPol3
-- 6*x^4 + 2*x
-- polCero es el polinomio cero. Por ejemplo,
-- > polCero
-- 0
polCero :: Polinomio a
polCero = PolCero
-- (esPolCero p) se verifica si p es el polinomio cero. Por ejemplo,
-- esPolCero polCero == True
-- esPolCero ejPol1 == False
esPolCero :: Polinomio a -> Bool
esPolCero PolCero = True
esPolCero _ = False
-- (consPol n b p) es el polinomio bx^n+p. Por ejemplo,
-- ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x
-- consPol 3 0 ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x
-- consPol 3 2 polCero == 2*x^3
-- consPol 6 7 ejPol2 == 7*x^6 + x^5 + 5*x^2 + 4*x
-- consPol 4 7 ejPol2 == x^5 + 7*x^4 + 5*x^2 + 4*x
-- consPol 5 7 ejPol2 == 8*x^5 + 5*x^2 + 4*x
consPol :: (Num a, Eq a) => Int -> a -> Polinomio a -> Polinomio a
consPol _ 0 p = p
consPol n b PolCero = ConsPol n b PolCero
consPol n b (ConsPol m c p)
| n > m = ConsPol n b (ConsPol m c p)
| n < m = ConsPol m c (consPol n b p)
| b+c == 0 = p
| otherwise = ConsPol n (b+c) p
-- (grado p) es el grado del polinomio p. Por ejemplo,
-- ejPol3 == 6*x^4 + 2*x
-- grado ejPol3 == 4
grado :: Polinomio a -> Int
grado PolCero = 0
grado (ConsPol n _ _) = n
-- (coefLider p) es el coeficiente líder del polinomio p. Por ejemplo,
-- ejPol3 == 6*x^4 + 2*x
-- coefLider ejPol3 == 6
coefLider :: Num t => Polinomio t -> t
coefLider PolCero = 0
coefLider (ConsPol _ b _) = b
-- (restoPol p) es el resto del polinomio p. Por ejemplo,
-- ejPol3 == 6*x^4 + 2*x
-- restoPol ejPol3 == 2*x
-- ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x
-- restoPol ejPol2 == 5*x^2 + 4*x
restoPol :: Polinomio t -> Polinomio t
restoPol PolCero = PolCero
restoPol (ConsPol _ _ p) = p
-- Generador de polinomios --
-- =======================
-- genPolinomio es un generador de polinomios. Por ejemplo,
-- λ> sample (genPol 1)
-- 7*x^9 + 9*x^8 + 10*x^7 + -14*x^5 + -15*x^2 + -10
-- -4*x^8 + 2*x
-- -8*x^9 + 4*x^8 + 2*x^6 + 4*x^5 + -6*x^4 + 5*x^2 + -8*x
-- -9*x^9 + x^5 + -7
-- 8*x^10 + -9*x^7 + 7*x^6 + 9*x^5 + 10*x^3 + -1*x^2
-- 7*x^10 + 5*x^9 + -5
-- -8*x^10 + -7
-- -5*x
-- 5*x^10 + 4*x^4 + -3
-- 3*x^3 + -4
-- 10*x
genPol :: (Num a, Arbitrary a, Eq a) => Int -> Gen (Polinomio a)
genPol 0 = return polCero
genPol _ = do
n <- choose (0,10)
b <- arbitrary
p <- genPol (div n 2)
return (consPol n b p)
instance (Num a, Arbitrary a, Eq a) => Arbitrary (Polinomio a) where
arbitrary = sized genPol
-- Propiedades de los polinomios
-- =============================
-- polCero es el polinomio cero.
prop_polCero_es_cero :: Bool
prop_polCero_es_cero =
esPolCero polCero
-- Si n es mayor que el grado de p y b no es cero, entonces
-- (consPol n b p) es un polinomio distinto del cero.
prop_consPol_no_cero :: Int -> Int -> Polinomio Int -> Property
prop_consPol_no_cero n b p =
n > grado p && b /= 0 ==>
not (esPolCero (consPol n b p))
-- (consPol (grado p) (coefLider p) (restoPol p)) es igual a p.
prop_consPol :: Polinomio Int -> Bool
prop_consPol p =
consPol (grado p) (coefLider p) (restoPol p) == p
-- Si n es mayor que el grado de p y b no es cero, entonces
-- el grado de (consPol n b p) es n.
prop_grado :: Int -> Int -> Polinomio Int -> Property
prop_grado n b p =
n > grado p && b /= 0 ==>
grado (consPol n b p) == n
-- Si n es mayor que el grado de p y b no es cero, entonces
-- el coeficiente líder de (consPol n b p) es b.
prop_coefLider :: Int -> Int -> Polinomio Int -> Property
prop_coefLider n b p =
n > grado p && b /= 0 ==>
coefLider (consPol n b p) == b
-- Si n es mayor que el grado de p y b no es cero, entonces
-- el resto de (consPol n b p) es p.
prop_restoPol :: Int -> Int -> Polinomio Int -> Property
prop_restoPol n b p =
n > grado p && b /= 0 ==>
restoPol (consPol n b p) == p
-- Verificación
-- ============
return []
verificaPol :: IO Bool
verificaPol = $quickCheckAll
-- La verificación es
-- λ> verificaPol
-- === prop_polCero_es_cero from PolPropiedades.hs:53 ===
-- +++ OK, passed 1 test.
--
-- === prop_consPol_no_cero from PolPropiedades.hs:63 ===
-- +++ OK, passed 100 tests; 251 discarded.
--
-- === prop_consPol from PolPropiedades.hs:73 ===
-- +++ OK, passed 100 tests.
--
-- === prop_grado from PolPropiedades.hs:83 ===
-- +++ OK, passed 100 tests; 321 discarded.
--
-- === prop_coefLider from PolPropiedades.hs:94 ===
-- +++ OK, passed 100 tests; 340 discarded.
--
-- === prop_restoPol from PolPropiedades.hs:105 ===
-- +++ OK, passed 100 tests; 268 discarded.
--
-- True