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2022-04-00-Formelsammlung.md

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Formelsammlung

Haushalte

  • Nutzenfunktion $U(x_1,x_2) = x_1^a x_2^b$ (oder ähnlich)

  • IDK: Nutzenfunktion nach $x_2$ umstellen

    • MRS $= \frac{MU_x}{MU_y}$
      • subjektives Substitutionswollen
      • Steigung der IDK
      • Ableitung der Nutzenfunktion nach x/y

  • Budgetgerade: $B = p_1 x_1+p_2 x_2$

    • MRT = $-\frac{p_1}{p_2}$
      • objektives Substitutionskönnen
      • Steigung: $x_2 = -\frac{p_1}{p_2} x_1 + \frac{B}{p_2}$

  • Gleichgewicht: $MRS =MRT$

  • Elastizität der Nachfrage: $\epsilon_{x,p}= \frac{\Delta x %}{\Delta p %} = \frac{\Delta x / x}{\Delta p / p}$ , dimensionslos

    • $\epsilon = 0$: vollkommen elastisch
    • $0 < \epsilon < 1$ relativ unelastisch
    • $ 1 \le \epsilon < \infty$: relativ elastisch

  • Auch: Einkommenselastizität: $\frac{\Delta x / x}{\Delta B / B}$

Unternehmen

  • Gewinn = Erlös - Kosten: $G(x) = E(x) - C(x)$

  • Isoquatenfunktion = Produktionsfunktion zweier Inputs $x(r_1,r_2)$

    • Steigung: MRTS = $\frac{\Delta r_2}{\Delta r_1} \bigg|_T = -\frac{\frac{\partial x}{\partial r_1}}{\frac{\partial x}{\partial r_2}}$
    • technisches Substitutionskönnen

  • Kostenfunktion: $C = q_1 * r_1 + q_2 * r_2$

    • Kapital + Arbeit: $C = wL+qK$
    • Funktionsumstellung: $K = -\frac{w}{q}L+\frac{C}{q}$
    • MRMS = $-\frac{q_1}{q_2}$

Optimum: mithilfe der Lagrangefunktion $L = wL+qK + \lambda (x-L^a K^b)$

  • Kosten $C = C_V + C_F$
    • Durchschnitsskosten :$\frac{C}{x} = \frac{C_v}{x} + \frac{C_F}{x}$
    • $\frac{C}{x}$ = Average Total Cost
    • $\frac{C_V}{x}$ = Average Variable Cost
    • $\frac{C_F}{x}$ = average Fixed Cost

langfristiges Angebot: $p = ATC_{min}$

kurzfrisitges Angebot: $p = MC$

  • Grenzkosten $MC = \frac{\partial C}{\partial x}$
  • $ATC_{min}: \frac{\partial ATC}{\partial x} = 0$
  • gewinnoptimale Outputmenge: Umstellen von p=MC

Vertikaladdition von Supply: $x_m = x_1+x_2$ (umstellen der Angebotsfunktion nach x)

Märkte

Gütermarkt

  • MRS = MRT
  • Konsumentenrente = $\frac{(Reservationspreis-Marktpreis) \cdot Menge}{2}$
  • Produzentenrente = $\frac{(Marktpreis-Reservationspreis) \cdot Menge}{2}$

Arbeitsmarkt

  • Einkommen $I = w \cdot t_A$ (Lohn mal Abreitszeit)

  • Wertgrenzprodukt Arbeit $WGP_A = p \cdot \frac{\partial x(L,K)}{\partial L}$

    • Beitrag des letzten eingestellten Mitarbeiters = Grenzvorteil
    • Grenznachteil = Lohnkosten

  • Optimum: $w = WGP_A$

Kapitalmarkt

Budgetbeschränkung

  • gegenwärtige Wert zukünftiger Auszahlungen $B = \frac{m}{(1+r)^t}$
    • m = heutige Einzahlung
    • r = Zins
  • Intertemporal: Budget Aufteilung auf ein Gut in zwei Perioden
    • $x_{p2}, x_{p1}$ = Güter in Periode 1/2
    • $m_1,m_2$ = Einkommen in Periode 1 / 2
    • Preise der Güter sind konstant und gleich 1
    • Budget in Zukunftswerten: $\overbrace{(1+r) * m_1 + m_2}^{\text{Budget}} = \overbrace{(1+r) * x_{p1} + x_{p2}}^{\text{Ausgaben}}$
    • B in Gegenwartswerten: $\underbrace{m_1 + \frac{m_2}{(1+r)}}{\text{Budget}} = \underbrace{x{p1} + \frac{x_{p2}}{(1+r)}}_{\text{Ausgaben}}$
  • Güterkonsum in Periode 2: $x_{p2} = m_2 + (1+r)*(m_1-x_{p1})$
  • intertemporalen Budgetgerade: $x_2 = -MRT \cdot x_1 + IPO$
    • MRT: $- (1+r)$
    • Schnitt Y-achse (IPO) = $m_1 \cdot (1+r) + m_2$
    • Schnitt X-achse (IPA)= $m_1+ \frac{m_2}{(1+r)}$

Optimierung mithilfe $L = U(x_{p1}, x_{p2}) + \lambda \ [m_1 * (1+r) + m_2 - (1+r)x_{p1} - x_{p2}]$

  • Zeitpräferenzrate Tau $\tau = \frac{MU(x_{p1})- MU(x_{p2})}{MU(x_{p2})} = r$ Zinssatz

Verscicherungsmarkt

Risiko

  • Mögliche Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Entscheidung $W = [\underbrace{s_1,...,s_n}{\text{Ereignisse}}; , \underbrace{\pi_1, ...,\pi_n}{\text{Wahrscheinlichkeiten}}]$
  • Erwarteter Nutzen: $EU = U(s_1) \cdot \pi_1 + U(s_2) \cdot \pi_2 + ...$
  • Erwartungswert: $EV = s_1 \cdot \pi_1 + s_2 \cdot \pi_2 + ...$
  • Entscheidend für Risikoverhalten: $U(EV) \neq EU$
    • $U(EV) = EU$: risikoneutral
    • $U(EV) &gt; EU$: risikoavers
    • $U(EV) &lt; EU$: risikoneutral
      • Nutzen der sicheren Alternative < Nutzen der unsicheren Alternative

Versicherungen

  • $y^*$ = Einkommen / yield
  • L = Loss / Verlust
  • Versicherungsprämie: $P =p \cdot q$
    • p = Versicherungssatz (in Prozent)
    • q = Versicherungssumme
Outcomes keinen Schaden Schaden
ohne Vers. $y^*$ $y^* -L$
mit Vers. $y^- (pq)$ $y^* - L+q - (p*q)$

  • $y_b$ = Einkommen im Schadensfall

  • $y_g$ = Einkommen im Fall ohne Schaden

  • $EU = U(y_g) \cdot (1-\pi) + U(y_b) \cdot \pi$

  • $EV = y_g \cdot (1-\pi) + y_b \cdot \pi$

  • Indifferenzkurve eines Punktes P: $EU_P = EU$ gleichsetzen und nach $y_b$ umstellen

    • BSP: $8 = 0.4 y_g^{0.5} + 0.6 y_b^{0.5}$ für Punkt mit EV=8 und Nutzenfunktion $U=y^{0.5}$
    • => $y_b = (20-1,5y_g^{0.5})^2$

  • Budgetgerade: $y_b = -MRT \ y_g + SPO$

    • $MRT =\frac{1-p}{p}$ Substitutionskönnen zwischen $y_b$ und $y_g$

      • Aufgeben von einem Euro -> Schadensfall $\frac{1-p}{p}$ Euro mehr

    • $SPO = \frac{y^*}{p}L$

      • = Alles geld wird in Versicherung gesteckt

  • Substitutionswollen: $- \frac{1-\pi}{\pi} * \frac{\frac{\partial U}{\partial y_g}}{\frac{\partial U}{\partial y_b}} = MRS$

Optimiere mit Lagrange: $max U(y_g,y_b)$ s.t $y_b = y_g+125$

im Optimum: $MRS = MRT \to \frac{1-\pi}{\pi} * \frac{MU_{y_g}}{MU_{y_g}} = \frac{1-p}{p}$

  • bei fairer Prämie $p = \pi$: Haushalt wählt Vollversicherung
  • bei unfairer Prämie $p &gt; \pi$: Haushalt wählt Unterversicherung
  • Bei gönnerhafter $p &lt; \pi$: Haushalt überversichert

Monopole

  • Gewinnoptimum: $Grenzkosten = Grenzerloese$

    • Erlöse(x): $p(x) \cdot x$ = (PAF * x)
    • Grenzerlöse = $\frac{\partial E}{\partial x} = \frac{\partial p(x) \cdot x}{\partial x}$

  • Mengenfixierung: $G(x) = p(X) * X - K(X)$

    • $$ \frac{\partial G}{\partial X} = \underbrace{\frac{\partial p}{\partial X} * X}{T_1} + \underbrace{p* \frac{\partial X}{\partial X}}{T_2} - \underbrace{\frac{\partial K}{\partial X} }_{T_3} = 0 \text{ mit } \frac{\partial X}{\partial X} = 1 \ \to T_1 + T_2 - T_3 = 0 $$

  • Preisfixierung: $G(p) = p \cdot X(p) - K(X\small(p) \big)$

  • Amoroso Robinson Fomel: $p = \frac{\overbrace{\frac{\partial K}{\partial X}}^{MC} }{ 1- \frac{1}{|\varepsilon_{x,p|}}}$

    • je niedriger Elastizität => höhere Monopolpreisaufschlag
    • wenn Elastizität unendlich; Monopolpreis = Grenzkosten = Polypolbedingung
    • umgestellt nach $\epsilon = \frac{1}{1- \frac{MC}{p}}$