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Statistik

Zusammenfassung für das Modul Statistik II

Wahrscheinlichkeiten

Ergebnisse ${ w_{1}, w_{2},... } = \Omega$ Ergebnismenge

Ereignis = eine Teilmenge der Ergebnismenge $A \subseteq \Omega$

Mengen

  • Schnittmenge $A \cap B$
  • Vereinigungsmenge $A \cup B$
  • Komplementärmenge $A^{C}$ bzw. $\bar{A}$

Mengen

Laplace-Wahrscheinlichkeit

einfachste Wahrscheinlichkeit: $$ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\text{Anzahl Ereignisse A}}{\text{Gesamtzahl Ereignisse}} $$ Beispiel: 20 Menschen in Raum, davon 10 cool => Wahrscheinlichkeit mit coolen Menschen zu reden: $P(A) = \frac{10}{20} = 0.5 = 50%$

bedingte Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, wenn B schon eingetreten ist = bedingte Wahrscheinlichkeit A gegeben B = $P(A | B)$

Berechnung: $P(A|B) = \frac{P (A\cap B)}{P(B)}$

Beispiel: Porschefahrer: 10% der Bevölkerung sind Porschefahrer und 50% von denen sind Arschlöcher (isso)

2022-07-24_13.38.09

  • Wahrscheinlichkeit Porschefahrer: $P(B) = 10%$
  • Wahrscheinlichkeit dass Porschefahrer Arschlöcher sind: $P(A|B) = 50%$

wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zufällige Person vor dir Porschefahrer und Arschloch ist?

$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)= 0.5 \cdot 0.1 = 0.05 = 5%$

totale Wahrscheinlichkeit

wenn die Bedingungen die Ergebnismenge disjunkt zerlegen, heißt alle Möglichkeiten darstellen, bspw. regnet und regnet nicht = $B ; \bar{B}$

für die Wahrscheinlichkeit A eines Eregnisses: $P(A) = \sum_{i=1}^{k}P(A|B_{i})* P(B_{i})$

Beispiel: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Person vor dir Arschloch ist?

  • Arschlöcher unter Porschefahrern : $P(A|B) \cdot P(B) = 0.05$
  • Arschlöcher in Gesamtbevölkerung: $P(A|\bar{B}) \cdot P(\bar{B}) = 0.9 \cdot 0.2 = 0.045$

$P(A) = 0.05+0.045 = 0.095 = 9,5 %$

Satz von Bayes

mit diesem lässt sich in Verbindung mit der totalen Wahrscheinlichket eine Umkehranalyse betreiben: $$ P(B_i | A) = \frac{P(A|B_i) \cdot P(B_i)}{\sum_{i=1}^{k}P(A|B_{i})* P(B_{i})} = \frac{P(A|B_i) \cdot P(B_i)}{P(A)} $$

Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Arschloch vor dir nen Porsche fährt? $$ P(B|A) = \frac{0.5 \cdot 0.1 }{0.095} \approx 53% $$ => obwohl Porschefahrer nur 10% der Bevölkerung ausmachen, stellen sie 53% der Arschlöcher

Graphik der Rückwärtsanalyse

Graphisch veranschaulicht

Unabhängigkeit

zweier Ereignisse = kein Zusammenhang:

$P(A \cap B) = P(A) * P(B)$

Beispiel: ist es nur zufällig mit den Porschefahrern?

  • $P(A \cap B) = 0.05$
  • $P(A) \cdot P(B) = 0.095 \cdot 0.1 = 0.0095$

$0.05 \neq 0.0095$ : ist nicht zufällig!

Stichproben

Wir wollen aus den Eigenschaften einer großen Menge die Eigenschaften einer Stichprobe benennen: bspw. wir wissen alles über Würfel, wie wahrscheinlich ist dann eine Stichprobe, bei der 3 Mal hintereinander eine 6 gewürfelt wird.

wenn Ergebnissmenge eines Experiments nicht bekannt => Stichproben

  • aus Stichproben Wahrscheinlichkeit ablesen
  • Wahrscheinlichkeit für Objekt in Grundgesamtheit benötigt

wichtig:

  • Fakultät $k!$ und Binomialkoeffizienten $\binom{a}{b}$
  • Umfang Grundgesamtheit $N$
  • Umfang Stichprobe $n$

Anzahl möglicher Stichproben:

mit Zurücklegen ohne Zurücklegen
mit Reihenfolge $\frac{N!}{(N-n)!}$ $N^n$
ohne Reihenfolge $\binom{N}{n}$ $\binom{N+n-1}{n}$

Zufallsvariabeln (Eindimensional)

Empfehlenswertes Video zum grundlegenden Verstehen!

mathematisch Beispiel
Ergebnismenge $\Omega$ Studis in VL mit Attributen Alter, Kontostand, ...
Auswahl $\omega$ Ein Teilnehmer aus der VL
Abbildung X auf Omega $X:\Omega$ Verteilungen des Alters unter den Studenten
$X(\omega)$ Kontostand des ausgewählten Studenten

Alter, Geschlecht etc sind Zufallsvariablen unter den Studierenden

2022-07-24_19.45.43

Arten von Zufallsvariablen:

  • stetig: nicht abzählbar, kann unendlich sein
  • diskret: Zählbar (wie natürliche Zahlen)

Dichte- und Verteilungsfunktion

Verteilung der Zufallsvariable (stetig oder diskret) = Dichtefunktion f(x) genannt

Kumulieren der Dichtefunktion = Verteilungsfunktion $F(x) = \sum f(x_i)$

2022-07-25_11.38.24

Berechnung der Verteilungsfunktion

bei stetigen Variablen muss die Verteilungsfunktion aufwendiger berechnet werden = Integrieren

  • Wertebereich: $X(\Omega) = \mathbb{R}$
  • es gilt: $f(x) \ge 0 \ \forall x;\ \int_{-\infty}^\infty f(t)dt=1$
    • Fläche unter Kurve = 1 = 100%

Beispielrechnung: $P(X \le x) = F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt$

  • bei Dichtefunktion mit Grenzen: $f(x) = x\ ,\ a\le x \le b$
  • Verteilungsfunktion: $$ F(x) = \begin{cases} 0 & x < a \ \int_a^b x & a \le x \le b \ 1 & x > b \end{cases} $$

und der Test $P(x \le X) = \int_a^x f(x)$

Rechnen mit der Verteilungsfunktion

Würfelwürfe zwischen 2 und einschließlich 5:

  • f(x) = Dichte der Würfelwürfe
  • F(x) = Verteilungsfunktion der Würfelwürfe

$$ F(2 < X \le 5) = F(5) - F(2) = 3/6 \implies \underline{50%} $$

2022-07-25_11.55.46

Oder Anzahl Menschen unter 50: (stetiges Alter)

  • $f(x)$ = Dichtefunktion des Alters
  • $F(x)$ = Verteilungsfunktion
  • Gesucht: $\sum_{i=1}^{50} f(x_i)$

Lösung: $F(50)$

2022-07-25_11.48.04

weiteres in der Formelsammlung

Modus

Definition: x-Wert, bei dem f(x) maximal

  • bei zwei gleichen Werten = undefiniert
  • berechnen über Extrema der Funktion?

2022-05-10_11.26.55

Erwartungswert E(X)

Gegenstück zu arithmetischen MIttel, meist "Schwerpunkt" / Symmetriestelle der Funktion

diskrete Variable:

  • $E(X) = \sum_{i=1}^\infin x_i \cdot f(x_i) = x_1 \cdot f(x_1)+ x_2 \cdot f(x_2)+...$
  • Beispiel: Erwartungswert eines Würfelwurfes
  • $\frac{1}{6} \cdot 1+ \frac{1}{6} \cdot 2+ ... = 3.5$

stetige Variable:

  • $E(x) =\int_{-\infty}^\infty x * f(x)dx$
  • Beispiel: Alle 6 Minuten kommt Straßenbahn, wie lange muss ich wahrscheinlich warten wenn ich irgendwann losgehe?

$$ \begin{aligned} E(x) &= \int_{-\infty}^\infty x * f(x)dx \ &= \int_0^6 x * \frac{1}{6}dx \ &= \frac{1}{6}\Big( \frac{1}{2} x^2\Big)\bigg|_0^6 \ &= \frac{1}{12}*(36-0) = \frac{36}{12} = 3 \end{aligned} $$

graphische Darstellung:2022-05-10_11.40.55

Quantile

2022-07-25_12.36.33

Berechnung: entweder ablesen, kompliziert berechnen oder mit Normalverteilung später

Varianz + Standardabweichung

wie bei Statistik I

Varianz für diskrete X: $$ Var(x) = \sum_{i=1}^\infty x_i^2 *f(x_i) - (E(X))^2 $$ für stetige X $$ Var(x) = \int_{-\infty}^\infty x^2 *f(x)dx - (E(X))^2 $$

Varianz: $\sigma_X = \sqrt{Var(x)}$

Beispiel: Würfel mit E(X) = 3.5 (Standardwürfel) $$ Var(x) = E(X^2) - (E(X))^2 \ E(X^2) = \sum_{i=1}^\infty x_i^2 *f(x_i) = \frac{1}{6} \cdot 1^2+...= 15.666 \ Var(x) = 15.666 - 3.5^2 = 3.4166 \ \sigma_X = \sqrt{3.4166} \approx 1.8480 $$

Zufallsvariablen (mehrdimensional)

jetzt eine Abbildung von Stichproben auf mehrere Variablen, beispielsweise Studierende mit Alter X und Notenschnitt Y

für diskrete Verteilungen:

2022-05-10_12.36.45

Beispiel

4mal Münzewerfen und Reihenfolge notieren (Z=Zahl, K=Kopf)

  • mögliche Kombination: $N=2, n=4 \to N^n = 16$
mögliche Ereignisse Verteilung
2022-07-25_13.45.04 2022-07-25_13.45.33

bedingte Dichte

  • von X gegeben Y = $\frac{\text{Wahrscheinlichkeit dass beides eintritt}}{\text{Wahrscheinlichkeit dass y eintritt}} \to f_X = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

Graphisch: 2022-07-25_14.04.06

Beispiel

Anzahl der Köpfe gegeben Anzahl der Wechsel 2022-07-25_14.04.54

also Spalten nehmen und durch Randdichte des gegebenen teilen!

Beispiel in erster Zeile, erster Spalte: $f(x=0 | \underbrace{y=0}_{gegeben})= \frac{f(x,y)}{f_y(y)} = \frac{1/16}{1/8}= 0.5$

stochastische Unabhängigkeit

gegeben, wenn $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$

im Beispiel: $f(0,0)\to \underbrace{\frac{1}{16} \neq \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{16}}_{nicht \ unabh.} \gets f_X(x) \cdot f_Y(y)$

Kovarianz

Allgemein: $Cov(X,Y)= E\Big[ \big(X-E(X)\big) - \big( Y - E(Y) \big) \Big]$

Veranschaulichung: 2022-07-25_14.27.41

Also: Kovarianz kleiner 0 => große Werte von x hängen mit kleinen Werten von y zusammen

Berechnung: ist scheiße!

Beispieltabelle: 2022-07-26_16.26.24

Vorgehen: (diskret)

  • Randhäufigkeiten bestimmen: bspw. für X: 200/320 und 120/320
  • bedingte Häufigkeiten bestimmen: Zelle / Gesamtergebnis: 40/320
  • dann alle Zellen mit bedingten Häufigkeiten * Randhäufigkeit X * Randhäufigkeit Y
  • und dann alles aufsummieren

Vorgehen: (stetig)

  • Randdichte von X bestimmen: $f_X(x)=\int_a^b f(x,y) dy$ = Dichtefunktion nach Y integrieren
  • dann $E(X) = \int_a^b x f_X(x)$= mit x multipliziert integrieren
  • Dann $E(X Y) = \int \int x \cdot y \cdot f(x,y) \ dx dy$

Beispiel:

  • E(X) = 1.5
  • E(Y) = 2

und dann ganz viel Müll, letztendlich: $Cov(X,Y) = 0$

=> gibt Zusammenhang zwischen Anzahl Köpfe und Anzahl Wechsel, aber nicht stochastisch unabhängig!

Verteilungen

für Verteilungen gibt es einige typische, anhand derer Sachen einfacher berechenbar sind, insbesondere von Interesse ist die Normalverteilung

Diskrete Verteilungen

Verteilungen mit diskreten (abzählbaren) Zufallsvariablen

Bernoulli Verteilung

binäre Verteilung als 0 oder 1

  • bspw. Klausur bestanden / nicht bestanden mit Wahrscheinlichkeit p

Dichtefunktion: $f(x_i) = p^{x_i} * (1-p)^{1-x_i}$ für $x_i = 0,1$

ist Spezialfall der Binomialverteilung: $X \sim Bin(1,p)$

Binomialverteilung

Dichtefunktion: $$ f(x_i) = \underbrace{\binom{n}{x_i}}{\text{Binomkoeff}} * \underbrace{p^{x_i}}{\text{Erfolge}} * \underbrace{(1-p)^{n-x_i}}_{\text{Misserfolge}} $$ Binomkoeffizient beschreibt Anzahl aller möglichen Kombinationen

2022-05-17_11.51.30

Binomialverteilung = Situation Ziehen mit Zurücklegen

  • Urne mit N Kugeln, davon M mit interessierender Eigenschaft
  • n Kugeln ziehen mit Zurücklegen
  • $X \sim Bin(n,p)$ mit $p = M / N$

hypergeometrische Verteilung

Ziehen ohne Zurücklegen

  • Urne mit N Kugeln, davon M mit interessierender Eigenschaft
  • n ziehen ohne zurücklegen
  • $X \sim Hyp(n,M,N)$

Dichtefunktion: $$ f(x_i) = \frac{ \binom{M}{x_i} * \binom{N-M}{n-x_i} }{ \binom{N}{n}} $$

Poisson Verteilung

X diskrete Zufallsvariable: 0, 1, 2, ...

Dichtefunktion: $f(x_i) = \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda}$

auch Verteilung der seltenen Ereignisse

2022-05-17_12-20

Normalverteilung

"The one Verteilung to rule them all"

  • Dichtefunktion: $f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi} * \sigma} * exp \Big( - \frac{(x-\mu^2)}{2 \sigma^2}\Big)$
  • Erwartungswert = $\mu$
  • Varianz = Standardabweichung^2 : $\sigma^2 = p$

kovergiert gegen 0, Fläche unter Kurve = 1

Schreibweise: $N(\mu, p)$

Standardnormalverteilung

Falls $\mu = 0$ und $\sigma^2 = 1 \to$ N(0,1) = Standardnormalverteilung

Dichte $\phi(z)$ und Verteilungsfunktion $\Phi(z)$ der SNV

2022-07-25_14.48.01

praktisch für: wir haben eine Verteilung, transformieren sie zu SNV, berechnen was wir berechnen wollen und transformieren zurück

Rechnungen

Wahrscheinlichkeit

$\phi(x) = ?$ also Höhe der Normalverteilung an bestimmten X-Wert:

Rechnerisch: mit R, bspw. hier

x = 1 ## das x
m = 0 ## das mu der Verteilung
sd = 1 ## die Standardabweichung
## Berechnung der Höhe mit pnorm()
dnorm(x,m,sd)

Output:

0.2419

kleiner als: Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeitsrechnungen bei der Normalverteilung: Wie hoch ist die W., dass Wert x kleiner als 1 ist?

2022-07-25_17.20.52

Rechnerisch: mit R, bspw. hier

p = 1 ## der gesuchte Wert
m = 0 ## das mu der Verteilung
sd = 1 ## die Standardabweichung (Wurzel der Varianz!)
## Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit pnorm()
pnorm(p,m,sd)

Output:

0.8413447

wenn nicht unterhalb der Wert gesucht wird, sondern oberhalb:

pnorm(p,m,sd,lower.tail=FALSE)

Quantile:

bei welchem Wert werden 69 % der Ereignisse abgedeckt?

2022-07-25_17.29.38

Rechnerisch:

q = 0.69 ## der gesuchte Wert
m = 0 ## Mittelwert mu der Verteilung
sd = 1 ## die Standardabweichung
## Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit pnorm()
qnorm(p,m,sd)

Output

0.49585

Schätzen

Wir wollen aus den Eigenschaften einer Stichprobe Informationen über die Grundgesamtheit in Erfahrung bringen, bspw. über Würfelwürfe etwas über die Gezinktheit eines Würfels = induktive Statistik

Beispiel: erwarteter Beliebtheitsgrad FDP $E(\ \text{Bel}_{FDP} \ )$, anhand Stichprobe aus historischen Daten

Methoden zu Bsp.:

  • Punktschätzung: beste Vermutung für Wert des Parameters in Grundgesamtheit
    • FDP wird nicht beliebt sein, nur 7%:
    • $E(\ \text{Bel}_{FDP} \ ) = 0.07$
  • Intervallschätzung: in welchem Bereich liegt ein Parameter?
    • Ich bin mir zu 95% sicher, dass seine Beliebtheit zwischen 5 und 10 % ist
    • $0.05 \le E(\ \text{Bel}_{FDP} \ ) \le 0.1$
  • Test: Treffen bestimmte Hypothesen zu?
    • Ich bin mir zu 99% sicher, dass meine Behauptung $E(\ \text{Bel}_{FDP} \ ) = 0.07$ stimmt

hoffen wir mal ne 😁

Punktschätzer

  • Suchen Parameter $\theta$ der Stichprobe $X_1,...,X_n$
  • Punktschätzer ist Funktion $t(X_1,...,X_n)$
  • Anwenden dieser Funktion auf Gesamtheit

Erwartungswertschätzer = simpler Durchschnitt $\bar{X}$

Varianzschätzer:

  1. $\tilde{S}^2 = \frac{1}{n} \sum (X_i-X_n) \text{ mit } E(\bar{S}^2) = \frac{n-1}{n} \sigma^2$
  2. korrigierter Schätzer: $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum (X_i-X_n) \text{ mit } E(S^2) = \sigma^2$

Beispielaufgabe Schätzer: drei Melonen

  • $t_1(X_1,X_2,X_3)= \frac{3}{6}(X_1+2 X_2 - X_3)$
  • $t_2(X_1,X_2,X_3)= \frac{2}{8}(X_1+5 X_2 + X_3)$

Erwartungswerte der Schätzer: ersetzen $E(X) = \mu$ $$ E(t_1) = E[\frac{3}{6}(X_1+2 X_2 - X_3)] \ = \frac{3}{6}(u+2u-u) = \frac{6}{6}u = u \ \ E(t_2) = E[\frac{2}{8}(X_1+5 X_2 + X_3)] \ = \frac{2}{8}(u+5u+u) = 2/8 \cdot(7u) = 1.75 u $$ Varianz der Schätzer: alleinstehende $Var(X) = \sigma^2$(alles was rauskommt quadrieren!) $$ Var(t_1) = Var[\frac{3}{6}(X_1+2 X_2 - X_3)] \ = \frac{3}{6}^2 \Big( 1^2 Var(X_1)+ 2^2 Var(X_1) + (-1)^2 Var(X_3) \Big) \ = \frac{9}{36} (1+4+2) \cdot Var(X) = 1.5 \cdot \sigma^2 $$

Intervallschätzer

Interesse ist Angabe eines Intervalls, das den Parameter enthält

Wahrscheinlichkeit $\alpha$ ($0 \le \alpha \le 1$) gegeben (genannt Irrtumswahrscheinlichkeit)

Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt:

Erinnerung: Standardabweichung $\sigma = \sqrt{Varianz: \ \sigma^2}$

n <- 39       ## Stichprobengröße
mean <- 7.77  ## Stichprobenmittel
sd <- 0.46     ## Stichprobenabweichung (Schätzung)
a <- 0.05     ## alpha

error <- qnorm(1-a/2)*sd/sqrt(n) ## Fehler berechnen mit Normalv.
high <- mean + error
low <- mean - error

print(c(low, high)) ## untere Grenze, obere Grenze

Varianz unbekannt, dafür Standardabweichungschätzung der Stichprobe:

nur bei $n\ge 30$, weil erst dann t-Verteilung = SNV

n <- 39       ## Stichprobengröße
mean <- 7.77  ## Stichprobenmittel
s <- 0.46     ## Stichprobenabweichung (Schätzung)
a <- 0.05     ## alpha

margin <- qt(1-a/2,df=n-1)*s/sqrt(n) ## Konfidenzfehler aus t-Verteilung
high <- mean + margin
low <- mean - margin

print(c(low, high)) ## untere Grenze, obere Grenze

Tests

wir haben eine Hypothese und eine derzeitige Meinung

  • Nullhypothese $H_0$: "die Erde ist eine Scheibe"
  • Alternativhypothese $H_1$: "Erde hat Kugelgestalt"

=> Testproblem: $H_0$ vs. $H_1$

wir bauen Entscheidungsregel, ab der wir $H_0$ verwerfen

$H_0$ ist real $H_1$ ist real
$H_0$ wird verworfen Fehler 1. Art ✅
$H_0$ bleibt ✅ Fehler 2. Art

Entscheidungsregel sagt, dass Fehler 1. Art nur mit Wahrscheinlichkeit $\alpha$ passieren soll

Arten von Hypothesen:

Test Hypothese $H_1$ Gegenhypothese $H_1$
linksseitig $\mu \ge \mu_0$ $\mu &lt; \mu_0$
rechtsseitig $\mu \le \mu_0$ $\mu &gt; \mu_0$
Zweiseitig $\mu = \mu_0$ $\mu \ne \mu_0$

Beispiel:

  • Bäcker behauptet, seine Brötchen sind im Schnitt schwerer/exakt 50 Gramm
  • ich behaupte, dass die Brötchen kleiner als 50 Gramm sind

Aufbau des Tests: wir suchen realen Durchschnitt $\mu$

  • Brötchengewicht X
  • Annahme: Brötchen sind normalverteilt $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
  • $H_0: \mu \ge 50$ vs. $H_1: \mu &lt; 50$ (unzufrieden)

Durchführung:

  • wir ziehen Stichgröße vom Umfang n $X_1, ...,X_n$
  • $\bar{X}$ = Durchschnittsgewicht = Prüfgröße

Berechnung: (mit beispielhaften Werten)

  • $\sigma^2 = 1.44$
  • $\alpha = 5%$
  • $\bar{X} = 51$
  • $S = 2.5$

Entscheidungsregel: (aus Formelsammlung: t-Test, linksseitig)

gauß-test in R

maschine mit Varianz = 0.5

Stichprobe mit 36 Schrauben, Durchschnitt=9.7, Varianz= 0.5

  • $H_0: \mu = 10$ (Schrauben sind im Durchschnitt 10 cm lang)
  • $H_1: \mu \ne 10$ (nein sind sie nicht)
library(compositions)
## x <- c() ## wenn reale Daten
x <- rnorm(36,9.7, 0.5) ## oder erstellen (n,mean,sd)

Gauss.test(x, y = NULL,
       mean = 10, ## Nullhypothese über mu
       sd = 0.5, ## die Varianz der Grundgesamtheit
       alternative =  "two.sided") ## "two.sided", "less", "greater"

Output:

data:  x
T = 9.8378, mean = 10, sd = 1, p-value = 0.05185
alternative hypothesis: two.sided

p > 0.05 = schlechte $H_0$ = $H_1$ wird angenommen.

Maschine muss rekalibriert werden, um Durchschnitt von 10cm wiederzubekommen.

t-test in R

## x <- c() ## wenn reale Daten der Stichprobe
x <- rnorm(29,85.74, 3.43) ## oder erstellen (n,mean,sd)

t.test(x, y = NULL,
       alternative =  "two.sided", ## "two.sided", "less", "greater"
       mu = 84.1,
       conf.level = 0.95,)

## Output: true mean is not equal to 84.1

praktische Sachen für Prüfung

  • Bei Entscheidungen gegen H0 und damit für H1 spricht man von einem signifikanten Ergebnis
  • Konfidenznivau + Signifikanzniveau = 100%